快速计算完全二叉树的节点

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

222.完全二叉树的节点个数(中等)


如果让你数一下一棵普通二叉树有多少个节点,这很简单,只要在二叉树的遍历框架上加一点代码就行了。

但是,如果给你一棵完全二叉树,让你计算它的节点个数,你会不会?算法的时间复杂度是多少?这个算法的时间复杂度应该是 O(logN*logN),如果你心中的算法没有达到高效,那么本文就是给你写的。

首先要明确一下两个关于二叉树的名词「完全二叉树」和「满二叉树」。

我们说的完全二叉树如下图,每一层都是紧凑靠左排列的:

我们说的满二叉树如下图,是一种特殊的完全二叉树,每层都是是满的,像一个稳定的三角形:

说句题外话,关于这两个定义,中文语境和英文语境似乎有点区别,我们说的完全二叉树对应英文 Complete Binary Tree,没有问题。但是我们说的满二叉树对应英文 Perfect Binary Tree,而英文中的 Full Binary Tree 是指一棵二叉树的所有节点要么没有孩子节点,要么有两个孩子节点。如下:

以上定义出自 wikipedia,这里就是顺便一提,其实名词叫什么都无所谓,重要的是算法操作。本文就按我们中文的语境,记住「满二叉树」和「完全二叉树」的区别,等会会用到

一、思路分析

现在回归正题,如何求一棵完全二叉树的节点个数呢?

// 输入一棵完全二叉树,返回节点总数
int countNodes(TreeNode root);

如果是一个普通二叉树,显然只要向下面这样遍历一边即可,时间复杂度 O(N):

public int countNodes(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

那如果是一棵二叉树,节点总数就和树的高度呈指数关系:

public int countNodes(TreeNode root) {
    int h = 0;
    // 计算树的高度
    while (root != null) {
        root = root.left;
        h++;
    }
    // 节点总数就是 2^h - 1
    return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}

完全二叉树比普通二叉树特殊,但又没有满二叉树那么特殊,计算它的节点总数,可以说是普通二叉树和完全二叉树的结合版,先看代码:

public int countNodes(TreeNode root) {
    TreeNode l = root, r = root;
    // 记录左、右子树的高度
    int hl = 0, hr = 0;
    while (l != null) {
        l = l.left;
        hl++;
    }
    while (r != null) {
        r = r.right;
        hr++;
    }
    // 如果左右子树的高度相同,则是一棵满二叉树
    if (hl == hr) {
        return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
    }
    // 如果左右高度不同,则按照普通二叉树的逻辑计算
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

结合刚才针对满二叉树和普通二叉树的算法,上面这段代码应该不难理解,就是一个结合版,但是其中降低时间复杂度的技巧是非常微妙的

二、复杂度分析

开头说了,这个算法的时间复杂度是 O(logN*logN),这是怎么算出来的呢?

直觉感觉好像最坏情况下是 O(N*logN) 吧,因为之前的 while 需要 logN 的时间,最后要 O(N) 的时间向左右子树递归:

return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);

关键点在于,这两个递归只有一个会真的递归下去,另一个一定会触发 hl == hr 而立即返回,不会递归下去

为什么呢?原因如下:

一棵完全二叉树的两棵子树,至少有一棵是满二叉树

看图就明显了吧,由于完全二叉树的性质,其子树一定有一棵是满的,所以一定会触发 hl == hr,只消耗 O(logN) 的复杂度而不会继续递归。

综上,算法的递归深度就是树的高度 O(logN),每次递归所花费的时间就是 while 循环,需要 O(logN),所以总体的时间复杂度是 O(logN*logN)。

所以说,「完全二叉树」这个概念还是有它存在的原因的,不仅适用于数组实现二叉堆,而且连计算节点总数这种看起来简单的操作都有高效的算法实现。

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