前缀和技巧

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

560.和为K的子数组(中等)


今天来聊一道简单却十分巧妙的算法问题:算出一共有几个和为 k 的子数组。

那我把所有子数组都穷举出来,算它们的和,看看谁的和等于 k 不就行了。

关键是,如何快速得到某个子数组的和呢,比如说给你一个数组 nums,让你实现一个接口 sum(i, j),这个接口要返回 nums[i..j] 的和,而且会被多次调用,你怎么实现这个接口呢?

因为接口要被多次调用,显然不能每次都去遍历 nums[i..j],有没有一种快速的方法在 O(1) 时间内算出 nums[i..j] 呢?这就需要前缀和技巧了。

一、什么是前缀和

前缀和的思路是这样的,对于一个给定的数组 nums,我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理:

int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
    preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];

这个前缀和数组 preSum 的含义也很好理解,preSum[i] 就是 nums[0..i-1] 的和。那么如果我们想求 nums[i..j] 的和,只需要一步操作 preSum[j+1]-preSum[i] 即可,而不需要重新去遍历数组了。

回到这个子数组问题,我们想求有多少个子数组的和为 k,借助前缀和技巧很容易写出一个解法:

int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // 构造前缀和
    int[] sum = new int[n + 1];
    sum[0] = 0; 
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];

    int ans = 0;
    // 穷举所有子数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            // sum of nums[j..i-1]
            if (sum[i] - sum[j] == k)
                ans++;

    return ans;
}

这个解法的时间复杂度 O(N^2) 空间复杂度 O(N),并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后,可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。

二、优化解法

前面的解法有嵌套的 for 循环:

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        if (sum[i] - sum[j] == k)
            ans++;

第二层 for 循环在干嘛呢?翻译一下就是,在计算,有几个 j 能够使得 sum[i]sum[j] 的差为 k。毎找到一个这样的 j,就把结果加一。

我们可以把 if 语句里的条件判断移项,这样写:

if (sum[j] == sum[i] - k)
    ans++;

优化的思路是:我直接记录下有几个 sum[j]sum[i] - k 相等,直接更新结果,就避免了内层的 for 循环。我们可以用哈希表,在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。

int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // map:前缀和 -> 该前缀和出现的次数
    HashMap<Integer, Integer> 
        preSum = new HashMap<>();
    // base case
    preSum.put(0, 1);

    int ans = 0, sum0_i = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum0_i += nums[i];
        // 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
        int sum0_j = sum0_i - k;
        // 如果前面有这个前缀和,则直接更新答案
        if (preSum.containsKey(sum0_j))
            ans += preSum.get(sum0_j);
        // 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
        preSum.put(sum0_i, 
            preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
    }
    return ans;
}

比如说下面这个情况,需要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了,之前的暴力解法需要遍历数组去数有几个 8,而优化解法借助哈希表可以直接得知有几个前缀和为 8。

这样,就把时间复杂度降到了 O(N),是最优解法了。

三、总结

前缀和不难,却很有用,主要用于处理数组区间的问题。

比如说,让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比,也可以利用前缀和技巧:

int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 150 分
int[] count = new int[150 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
    count[score]++
// 构造前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
    count[i] = count[i] + count[i-1];

这样,给你任何一个分数段,你都能通过前缀和相减快速计算出这个分数段的人数,百分比也就很容易计算了。

但是,稍微复杂一些的算法问题,不止考察简单的前缀和技巧。比如本文探讨的这道题目,就需要借助前缀和的思路做进一步的优化,借助哈希表去除不必要的嵌套循环。可见对题目的理解和细节的分析能力对于算法的优化是至关重要的。

接下来请阅读 差分数组技巧

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