随机算法之水塘抽样算法

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

382.链表随机节点(中等)

398.随机数索引(中等)


我最近在 LeetCode 上做到两道非常有意思的题目,382 和 398 题,关于水塘抽样算法(Reservoir Sampling),本质上是一种随机概率算法,解法应该说会者不难,难者不会。

我第一次见到这个算法问题是谷歌的一道算法题:给你一个未知长度的链表,请你设计一个算法,只能遍历一次,随机地返回链表中的一个节点。

这里说的随机是均匀随机(uniform random),也就是说,如果有 n 个元素,每个元素被选中的概率都是 1/n,不可以有统计意义上的偏差。

一般的想法就是,我先遍历一遍链表,得到链表的总长度 n,再生成一个 [1,n] 之间的随机数为索引,然后找到索引对应的节点,不就是一个随机的节点了吗?

但题目说了,只能遍历一次,意味着这种思路不可行。题目还可以再泛化,给一个未知长度的序列,如何在其中随机地选择 k 个元素?想要解决这个问题,就需要著名的水塘抽样算法了。

算法实现

先解决只抽取一个元素的问题,这个问题的难点在于,随机选择是「动态」的,比如说你现在你有 5 个元素,你已经随机选取了其中的某个元素 a 作为结果,但是现在再给你一个新元素 b,你应该留着 a 还是将 b 作为结果呢,以什么逻辑选择 ab 呢,怎么证明你的选择方法在概率上是公平的呢?

先说结论,当你遇到第 i 个元素时,应该有 1/i 的概率选择该元素,1 - 1/i 的概率保持原有的选择。看代码容易理解这个思路:

/* 返回链表中一个随机节点的值 */
int getRandom(ListNode head) {
    Random r = new Random();
    int i = 0, res = 0;
    ListNode p = head;
    // while 循环遍历链表
    while (p != null) {
        // 生成一个 [0, i) 之间的整数
        // 这个整数等于 0 的概率就是 1/i
        if (r.nextInt(++i) == 0) {
            res = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

对于概率算法,代码往往都是很浅显的,但是这种问题的关键在于证明,你的算法为什么是对的?为什么每次以 1/i 的概率更新结果就可以保证结果是平均随机(uniform random)?

证明:假设总共有 n 个元素,我们要的随机性无非就是每个元素被选择的概率都是 1/n 对吧,那么对于第 i 个元素,它被选择的概率就是:

i 个元素被选择的概率是 1/i,第 i+1 次不被替换的概率是 1 - 1/(i+1),以此类推,相乘就是第 i 个元素最终被选中的概率,就是 1/n

因此,该算法的逻辑是正确的。

同理,如果要随机选择 k 个数,只要在第 i 个元素处以 k/i 的概率选择该元素,以 1 - k/i 的概率保持原有选择即可。代码如下:

/* 返回链表中 k 个随机节点的值 */
int[] getRandom(ListNode head, int k) {
    Random r = new Random();
    int[] res = new int[k];
    ListNode p = head;

    // 前 k 个元素先默认选上
    for (int j = 0; j < k && p != null; j++) {
        res[j] = p.val;
        p = p.next;
    }

    int i = k;
    // while 循环遍历链表
    while (p != null) {
        // 生成一个 [0, i) 之间的整数
        int j = r.nextInt(++i);
        // 这个整数小于 k 的概率就是 k/i
        if (j < k) {
            res[j] = p.val;
        }
        p = p.next;
    }
    return res;
}

对于数学证明,和上面区别不大:

因为虽然每次更新选择的概率增大了 k 倍,但是选到具体第 i 个元素的概率还是要乘 1/k,也就回到了上一个推导。

拓展延伸

以上的抽样算法时间复杂度是 O(n),但不是最优的方法,更优化的算法基于几何分布(geometric distribution),时间复杂度为 O(k + klog(n/k))。由于涉及的数学知识比较多,这里就不列出了,有兴趣的读者可以自行搜索一下。

还有一种思路是基于「Fisher–Yates 洗牌算法」的。随机抽取 k 个元素,等价于对所有元素洗牌,然后选取前 k 个。只不过,洗牌算法需要对元素的随机访问,所以只能对数组这类支持随机存储的数据结构有效。

另外有一种思路也比较有启发意义:给每一个元素关联一个随机数,然后把每个元素插入一个容量为 k 的二叉堆(优先级队列)按照配对的随机数进行排序,最后剩下的 k 个元素也是随机的。

这个方案看起来似乎有点多此一举,因为插入二叉堆需要 O(logk) 的时间复杂度,所以整个抽样算法就需要 O(nlogk) 的复杂度,还不如我们最开始的算法。但是,这种思路可以指导我们解决加权随机抽样算法,权重越高,被随机选中的概率相应增大,这种情况在现实生活中是很常见的,比如你不往游戏里充钱,就永远抽不到皮肤。

最后,我想说随机算法虽然不多,但其实很有技巧的,读者不妨思考两个常见且看起来很简单的问题:

1、如何对带有权重的样本进行加权随机抽取?比如给你一个数组 w,每个元素 w[i] 代表权重,请你写一个算法,按照权重随机抽取索引。比如 w = [1,99],算法抽到索引 0 的概率是 1%,抽到索引 1 的概率是 99%。

2、实现一个生成器类,构造函数传入一个很长的数组,请你实现 randomGet 方法,每次调用随机返回数组中的一个元素,多次调用不能重复返回相同索引的元素。要求不能对该数组进行任何形式的修改,且操作的时间复杂度是 O(1)。

这两个问题都是比较困难的,以后有时间我会写一写相关的文章。

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