如何寻找消失的元素

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

448.找到所有数组中消失的数字(简单)


之前也有文章写过几个有趣的智力题,今天再聊一道巧妙的题目。

题目非常简单:

给一个长度为 n 的数组,其索引应该在 [0,n),但是现在你要装进去 n + 1 个元素 [0,n],那么肯定有一个元素装不下嘛,请你找出这个缺失的元素。

这道题不难的,我们应该很容易想到,把这个数组排个序,然后遍历一遍,不就很容易找到缺失的那个元素了吗?

或者说,借助数据结构的特性,用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来,再遍历 [0,n] 之间的数字,去 HashSet 中查询,也可以很容易查出那个缺失的元素。

排序解法的时间复杂度是 O(NlogN),HashSet 的解法时间复杂度是 O(N),但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。

第三种方法是位运算

对于异或运算(^),我们知道它有一个特殊性质:一个数和它本身做异或运算结果为 0,一个数和 0 做异或运算还是它本身。

而且异或运算满足交换律和结合律,也就是说:

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素。比如说 nums = [0,3,1,4]

为了容易理解,我们假设先把索引补一位,然后让每个元素和自己相等的索引相对应:

这样做了之后,就可以发现除了缺失元素之外,所有的索引和元素都组成一对儿了,现在如果把这个落单的索引 2 找出来,也就找到了缺失的那个元素。

如何找这个落单的数字呢,只要把所有的元素和索引做异或运算,成对儿的数字都会消为 0,只有这个落单的元素会剩下,也就达到了我们的目的。

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新补的索引异或一下
    res ^= n;
    // 和其他的元素、索引做异或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

由于异或运算满足交换律和结合律,所以总是能把成对儿的数字消去,留下缺失的那个元素的。

至此,时间复杂度 O(N),空间复杂度 O(1),已经达到了最优,我们是否就应该打道回府了呢?

如果这样想,说明我们受算法的毒害太深,随着我们学习的知识越来越多,反而容易陷入思维定式,这个问题其实还有一个特别简单的解法:等差数列求和公式

题目的意思可以这样理解:现在有个等差数列 0, 1, 2,..., n,其中少了某一个数字,请你把它找出来。那这个数字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛?

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 公式:(首项 + 末项) * 项数 / 2
    int expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;

    int sum = 0;
    for (int x : nums) 
        sum += x;
    return expect - sum;

你看,这种解法应该是最简单的,但说实话,我自己也没想到这个解法,而且我去问了几个大佬,他们也没想到这个最简单的思路。相反,如果去问一个初中生,他也许很快就能想到。

做到这一步了,我们是否就应该打道回府了呢?

如果这样想,说明我们对细节的把控还差点火候。在用求和公式计算 expect 时,你考虑过整型溢出吗?如果相乘的结果太大导致溢出,那么结果肯定是错误的。

刚才我们的思路是把两个和都加出来然后相减,为了避免溢出,干脆一边求和一边减算了。很类似刚才位运算解法的思路,仍然假设 nums = [0,3,1,4],先补一位索引再让元素跟索引配对:

我们让每个索引减去其对应的元素,再把相减的结果加起来,不就是那个缺失的元素吗?

public int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 新补的索引
    res += n - 0;
    // 剩下索引和元素的差加起来
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        res += i - nums[i];
    return res;
}

由于加减法满足交换律和结合律,所以总是能把成对儿的数字消去,留下缺失的那个元素的。

至此这道算法题目经历九曲十八弯,终于再也没有什么坑了。

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