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东哥带你刷二叉树(思路篇)

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

牛客 LeetCode 力扣 难度
- 114. Flatten Binary Tree to Linked List 114. 二叉树展开为链表 🟠
- 116. Populating Next Right Pointers in Each Node 116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针 🟠
- 226. Invert Binary Tree 226. 翻转二叉树 🟢
- - 剑指 Offer 27. 二叉树的镜像 🟢

———–

本文有视频版: 二叉树/递归的框架思维(纲领篇)

PS: 刷题插件 集成了手把手刷二叉树功能,按照公式和套路讲解了 150 道二叉树题目,可手把手带你刷完二叉树分类的题目,迅速掌握递归思维。

本文承接 东哥带你刷二叉树(纲领篇),先复述一下前文总结的二叉树解题总纲:

二叉树解题的思维模式分两类:

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案?如果可以,用一个 traverse 函数配合外部变量来实现,这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数,通过子问题(子树)的答案推导出原问题的答案?如果可以,写出这个递归函数的定义,并充分利用这个函数的返回值,这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式,你都需要思考:

如果单独抽出一个二叉树节点,它需要做什么事情?需要在什么时候(前/中/后序位置)做?其他的节点不用你操心,递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

本文就以几道比较简单的题目为例,带你实践运用这几条总纲,理解「遍历」的思维和「分解问题」的思维有何区别和联系。

一、翻转二叉树

我们先从简单的题开始,看看力扣第 226 题「 翻转二叉树」,输入一个二叉树根节点 root,让你把整棵树镜像翻转,比如输入的二叉树如下:

     4
   /   \
  2     7
 / \   / \
1   3 6   9

算法原地翻转二叉树,使得以 root 为根的树变成:

     4
   /   \
  7     2
 / \   / \
9   6 3   1

不难发现,只要把二叉树上的每一个节点的左右子节点进行交换,最后的结果就是完全翻转之后的二叉树。

那么现在开始在心中默念二叉树解题总纲:

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

可以,我写一个 traverse 函数遍历每个节点,让每个节点的左右子节点颠倒过来就行了。

单独抽出一个节点,需要让它做什么?让它把自己的左右子节点交换一下。

需要在什么时候做?好像前中后序位置都可以。

综上,可以写出如下解法代码:

// 主函数
TreeNode invertTree(TreeNode root) {
    // 遍历二叉树,交换每个节点的子节点
    traverse(root);
    return root;
}

// 二叉树遍历函数
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }

    /**** 前序位置 ****/
    // 每一个节点需要做的事就是交换它的左右子节点
    TreeNode tmp = root.left;
    root.left = root.right;
    root.right = tmp;

    // 遍历框架,去遍历左右子树的节点
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

你把前序位置的代码移到后序位置也可以,但是直接移到中序位置是不行的,需要稍作修改,这应该很容易看出来吧,我就不说了。

按理说,这道题已经解决了,不过为了对比,我们再继续思考下去。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

我们尝试给 invertTree 函数赋予一个定义:

// 定义:将以 root 为根的这棵二叉树翻转,返回翻转后的二叉树的根节点
TreeNode invertTree(TreeNode root);

然后思考,对于某一个二叉树节点 x 执行 invertTree(x),你能利用这个递归函数的定义做点啥?

我可以用 invertTree(x.left) 先把 x 的左子树翻转,再用 invertTree(x.right)x 的右子树翻转,最后把 x 的左右子树交换,这恰好完成了以 x 为根的整棵二叉树的翻转,即完成了 invertTree(x) 的定义。

直接写出解法代码:

// 定义:将以 root 为根的这棵二叉树翻转,返回翻转后的二叉树的根节点
TreeNode invertTree(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 利用函数定义,先翻转左右子树
    TreeNode left = invertTree(root.left);
    TreeNode right = invertTree(root.right);

    // 然后交换左右子节点
    root.left = right;
    root.right = left;

    // 和定义逻辑自恰:以 root 为根的这棵二叉树已经被翻转,返回 root
    return root;
}

这种「分解问题」的思路,核心在于你要给递归函数一个合适的定义,然后用函数的定义来解释你的代码;如果你的逻辑成功自恰,那么说明你这个算法是正确的。

好了,这道题就分析到这,「遍历」和「分解问题」的思路都可以解决,看下一道题。

第二题、填充节点的右侧指针

这是力扣第 116 题「 填充每个二叉树节点的右侧指针」,看下题目:

函数签名如下:

Node connect(Node root);

题目的意思就是把二叉树的每一层节点都用 next 指针连接起来:

而且题目说了,输入是一棵「完美二叉树」,形象地说整棵二叉树是一个正三角形,除了最右侧的节点 next 指针会指向 null,其他节点的右侧一定有相邻的节点。

这道题怎么做呢?来默念二叉树解题总纲:

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

很显然,一定可以。

每个节点要做的事也很简单,把自己的 next 指针指向右侧节点就行了。

也许你会模仿上一道题,直接写出如下代码:

// 二叉树遍历函数
void traverse(Node root) {
    if (root == null || root.left == null) {
        return;
    }
    // 把左子节点的 next 指针指向右子节点
    root.left.next = root.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是,这段代码其实有很大问题,因为它只能把相同父节点的两个节点穿起来,再看看这张图:

节点 5 和节点 6 不属于同一个父节点,那么按照这段代码的逻辑,它俩就没办法被穿起来,这是不符合题意的,但是问题出在哪里?

传统的 traverse 函数是遍历二叉树的所有节点,但现在我们想遍历的其实是两个相邻节点之间的「空隙」

所以我们可以在二叉树的基础上进行抽象,你把图中的每一个方框看做一个节点:

这样,一棵二叉树被抽象成了一棵三叉树,三叉树上的每个节点就是原先二叉树的两个相邻节点

现在,我们只要实现一个 traverse 函数来遍历这棵三叉树,每个「三叉树节点」需要做的事就是把自己内部的两个二叉树节点穿起来:

// 主函数
Node connect(Node root) {
    if (root == null) return null;
    // 遍历「三叉树」,连接相邻节点
    traverse(root.left, root.right);
    return root;
}

// 三叉树遍历框架
void traverse(Node node1, Node node2) {
    if (node1 == null || node2 == null) {
        return;
    }
    /**** 前序位置 ****/
    // 将传入的两个节点穿起来
    node1.next = node2;
    
    // 连接相同父节点的两个子节点
    traverse(node1.left, node1.right);
    traverse(node2.left, node2.right);
    // 连接跨越父节点的两个子节点
    traverse(node1.right, node2.left);
}

这样,traverse 函数遍历整棵「三叉树」,将所有相邻节的二叉树节点都连接起来,也就避免了我们之前出现的问题,把这道题完美解决。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

嗯,好像没有什么特别好的思路,所以这道题无法使用「分解问题」的思维来解决。

第三题、将二叉树展开为链表

这是力扣第 114 题「 将二叉树展开为链表」,看下题目:

函数签名如下:

void flatten(TreeNode root);

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

乍一看感觉是可以的:对整棵树进行前序遍历,一边遍历一边构造出一条「链表」就行了:

// 虚拟头节点,dummy.right 就是结果
TreeNode dummy = new TreeNode(-1);
// 用来构建链表的指针
TreeNode p = dummy;

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    p.right = new TreeNode(root.val);
    p = p.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是注意 flatten 函数的签名,返回类型为 void,也就是说题目希望我们在原地把二叉树拉平成链表。

这样一来,没办法通过简单的二叉树遍历来解决这道题了。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

我们尝试给出 flatten 函数的定义:

// 定义:输入节点 root,然后 root 为根的二叉树就会被拉平为一条链表
void flatten(TreeNode root);

有了这个函数定义,如何按题目要求把一棵树拉平成一条链表?

对于一个节点 x,可以执行以下流程:

1、先利用 flatten(x.left)flatten(x.right)x 的左右子树拉平。

2、将 x 的右子树接到左子树下方,然后将整个左子树作为右子树。

这样,以 x 为根的整棵二叉树就被拉平了,恰好完成了 flatten(x) 的定义。

直接看代码实现:

// 定义:将以 root 为根的树拉平为链表
void flatten(TreeNode root) {
    // base case
    if (root == null) return;
    
    // 利用定义,把左右子树拉平
    flatten(root.left);
    flatten(root.right);

    /**** 后序遍历位置 ****/
    // 1、左右子树已经被拉平成一条链表
    TreeNode left = root.left;
    TreeNode right = root.right;
    
    // 2、将左子树作为右子树
    root.left = null;
    root.right = left;

    // 3、将原先的右子树接到当前右子树的末端
    TreeNode p = root;
    while (p.right != null) {
        p = p.right;
    }
    p.right = right;/**<extend up -50><img src="/algo/images/二叉树系列/2.jpeg"> */
}

你看,这就是递归的魅力,你说 flatten 函数是怎么把左右子树拉平的?

不容易说清楚,但是只要知道 flatten 的定义如此并利用这个定义,让每一个节点做它该做的事情,然后 flatten 函数就会按照定义工作。

至此,这道题也解决了,我们前文 k个一组翻转链表 的递归思路和本题也有一些类似。

最后,首尾呼应,再次默写二叉树解题总纲。

二叉树解题的思维模式分两类:

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案?如果可以,用一个 traverse 函数配合外部变量来实现,这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数,通过子问题(子树)的答案推导出原问题的答案?如果可以,写出这个递归函数的定义,并充分利用这个函数的返回值,这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式,你都需要思考:

如果单独抽出一个二叉树节点,它需要做什么事情?需要在什么时候(前/中/后序位置)做?其他的节点不用你操心,递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

希望你能仔细体会,并运用到所有二叉树题目上。

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LeetCode 力扣
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