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base case 和备忘录的初始值怎么定?

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

牛客 LeetCode 力扣 难度
- 931. Minimum Falling Path Sum 931. 下降路径最小和 🟠

———–

很多读者对动态规划问题的 base case、备忘录初始值等问题存在疑问,本文就专门讲一讲这类问题,顺便聊一聊怎么通过题目的蛛丝马迹揣测出题人的小心思,辅助我们解题。

看下力扣第 931 题「 下降路径最小和」,输入为一个 n * n 的二维数组 matrix,请你计算从第一行落到最后一行,经过的路径和最小为多少。

函数签名如下:

int minFallingPathSum(int[][] matrix);

就是说你可以站在 matrix 的第一行的任意一个元素,需要下降到最后一行。

每次下降,可以向下、向左下、向右下三个方向移动一格。也就是说,可以从 matrix[i][j] 降到 matrix[i+1][j]matrix[i+1][j-1]matrix[i+1][j+1] 三个位置。

请你计算下降的「最小路径和」,比如说题目给了一个例子:

我们前文写过两道「路径和」相关的文章: 动态规划之最小路径和用动态规划算法通关魔塔

今天这道题也是类似的,不算是困难的题目,所以我们借这道题来讲讲 base case 的返回值、备忘录的初始值、索引越界情况的返回值如何确定

不过还是要通过 动态规划的标准套路 介绍一下这道题的解题思路,首先我们可以定义一个 dp 数组:

int dp(int[][] matrix, int i, int j);

这个 dp 函数的含义如下:

从第一行(matrix[0][..])向下落,落到位置 matrix[i][j] 的最小路径和为 dp(matrix, i, j)

根据这个定义,我们可以把主函数的逻辑写出来:

int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    int res = Integer.MAX_VALUE;

    // 终点可能在最后一行的任意一列
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        res = Math.min(res, dp(matrix, n - 1, j));
    }

    return res;
}

因为我们可能落到最后一行的任意一列,所以要穷举一下,看看落到哪一列才能得到最小的路径和。

接下来看看 dp 函数如何实现。

对于 matrix[i][j],只有可能从 matrix[i-1][j], matrix[i-1][j-1], matrix[i-1][j+1] 这三个位置转移过来。

那么,只要知道到达 (i-1, j), (i-1, j-1), (i-1, j+1) 这三个位置的最小路径和,加上 matrix[i][j] 的值,就能够计算出来到达位置 (i, j) 的最小路径和

int dp(int[][] matrix, int i, int j) {
    // 非法索引检查
    if (i < 0 || j < 0 ||
        i >= matrix.length ||
        j >= matrix[0].length) {
        // 返回一个特殊值
        return 99999;
    }
    // base case
    if (i == 0) {
        return matrix[i][j];
    }
    // 状态转移
    return matrix[i][j] + min(/**<extend up -200><img src="/algo/images/备忘录基础/1.jpeg"> */
            dp(matrix, i - 1, j), 
            dp(matrix, i - 1, j - 1),
            dp(matrix, i - 1, j + 1)
        );
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

当然,上述代码是暴力穷举解法,我们可以用备忘录的方法消除重叠子问题,完整代码如下:

int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    int res = Integer.MAX_VALUE;
    // 备忘录里的值初始化为 66666
    memo = new int[n][n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Arrays.fill(memo[i], 66666);
    }
    // 终点可能在 matrix[n-1] 的任意一列
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        res = Math.min(res, dp(matrix, n - 1, j));
    }
    return res;
}

// 备忘录
int[][] memo;

int dp(int[][] matrix, int i, int j) {
    // 1、索引合法性检查
    if (i < 0 || j < 0 ||
        i >= matrix.length ||
        j >= matrix[0].length) {
        
        return 99999;
    }
    // 2、base case
    if (i == 0) {
        return matrix[0][j];
    }
    // 3、查找备忘录,防止重复计算
    if (memo[i][j] != 66666) {
        return memo[i][j];
    }
    // 进行状态转移
    memo[i][j] = matrix[i][j] + min(
            dp(matrix, i - 1, j), 
            dp(matrix, i - 1, j - 1),
            dp(matrix, i - 1, j + 1)
        );/**<extend up -100><img src="/algo/images/备忘录基础/1.jpeg"> */
    return memo[i][j];
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

如果看过我们公众号之前的动态规划系列文章,这个解题思路应该是非常容易理解的。

那么本文对于这个 dp 函数仔细探讨三个问题

1、对于索引的合法性检测,返回值为什么是 99999?其他的值行不行?

2、base case 为什么是 i == 0

3、备忘录 memo 的初始值为什么是 66666?其他值行不行?

首先,说说 base case 为什么是 i == 0,返回值为什么是 matrix[0][j],这是根据 dp 函数的定义所决定的

回顾我们的 dp 函数定义:

从第一行(matrix[0][..])向下落,落到位置 matrix[i][j] 的最小路径和为 dp(matrix, i, j)

根据这个定义,我们就是从 matrix[0][j] 开始下落。那如果我们想落到的目的地就是 i == 0,所需的路径和当然就是 matrix[0][j] 呗。

再说说备忘录 memo 的初始值为什么是 66666,这是由题目给出的数据范围决定的

备忘录 memo 数组的作用是什么?

就是防止重复计算,将 dp(matrix, i, j) 的计算结果存进 memo[i][j],遇到重复计算可以直接返回。

那么,我们必须要知道 memo[i][j] 到底存储计算结果没有,对吧?如果存结果了,就直接返回;没存,就去递归计算。

所以,memo 的初始值一定得是特殊值,和合法的答案有所区分。

我们回过头看看题目给出的数据范围:

matrixn x n 的二维数组,其中 1 <= n <= 100;对于二维数组中的元素,有 -100 <= matrix[i][j] <= 100

假设 matrix 的大小是 100 x 100,所有元素都是 100,那么从第一行往下落,得到的路径和就是 100 x 100 = 10000,也就是最大的合法答案。

类似的,依然假设 matrix 的大小是 100 x 100,所有元素是 -100,那么从第一行往下落,就得到了最小的合法答案 -100 x 100 = -10000。

也就是说,这个问题的合法结果会落在区间 [-10000, 10000] 中。

所以,我们 memo 的初始值就要避开区间 [-10000, 10000],换句话说,memo 的初始值只要在区间 (-inf, -10001] U [10001, +inf) 中就可以。

最后,说说对于不合法的索引,返回值应该如何确定,这需要根据我们状态转移方程的逻辑确定

对于这道题,状态转移的基本逻辑如下:

int dp(int[][] matrix, int i, int j) {

    return matrix[i][j] + min(
            dp(matrix, i - 1, j), 
            dp(matrix, i - 1, j - 1),
            dp(matrix, i - 1, j + 1)
        );
}

显然,i - 1, j - 1, j + 1 这几个运算可能会造成索引越界,对于索引越界的 dp 函数,应该返回一个不可能被取到的值。

因为我们调用的是 min 函数,最终返回的值是最小值,所以对于不合法的索引,只要 dp 函数返回一个永远不会被取到的最大值即可。

刚才说了,合法答案的区间是 [-10000, 10000],所以我们的返回值只要大于 10000 就相当于一个永不会取到的最大值。

换句话说,只要返回区间 [10001, +inf) 中的一个值,就能保证不会被取到。

至此,我们就把动态规划相关的三个细节问题举例说明了。

拓展延伸一下,建议大家做题时,除了题意本身,一定不要忽视题目给定的其他信息

本文举的例子,测试用例数据范围可以确定「什么是特殊值」,从而帮助我们将思路转化成代码。

除此之外,数据范围还可以帮我们估算算法的时间/空间复杂度。

比如说,有的算法题,你只想到一个暴力求解思路,时间复杂度比较高。如果发现题目给定的数据量比较大,那么肯定可以说明这个求解思路有问题或者存在优化的空间。

除了数据范围,有时候题目还会限制我们算法的时间复杂度,这种信息其实也暗示着一些东西。

比如要求我们的算法复杂度是 O(NlogN),你想想怎么才能搞出一个对数级别的复杂度呢?

肯定得用到 二分搜索 或者二叉树相关的数据结构,比如 TreeMapPriorityQueue 之类的对吧。

再比如,有时候题目要求你的算法时间复杂度是 O(MN),这可以联想到什么?

可以大胆猜测,常规解法是用 回溯算法 暴力穷举,但是更好的解法是动态规划,而且是一个二维动态规划,需要一个 M * N 的二维 dp 数组,所以产生了这样一个时间复杂度。

如果你早就胸有成竹了,那就当我没说,毕竟猜测也不一定准确;但如果你本来就没啥解题思路,那有了这些推测之后,最起码可以给你的思路一些方向吧?

总之,多动脑筋,不放过任何蛛丝马迹,你不成为刷题小能手才怪。


引用本文的题目

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LeetCode 力扣
63. Unique Paths II 63. 不同路径 II

引用本文的文章

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