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贪心算法之区间调度问题

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

牛客 LeetCode 力扣 难度
- 435. Non-overlapping Intervals 435. 无重叠区间 🟠
- 452. Minimum Number of Arrows to Burst Balloons 452. 用最少数量的箭引爆气球 🟠

———–

什么是贪心算法呢?贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例,相比动态规划,使用贪心算法需要满足更多的条件(贪心选择性质),但是效率比动态规划要高。

比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间,如果能使用动态规划消除重叠子问题,就可以降到多项式级别的时间,如果满足贪心选择性质,那么可以进一步降低时间复杂度,达到线性级别的。

什么是贪心选择性质呢,简单说就是:每一步都做出一个局部最优的选择,最终的结果就是全局最优。注意哦,这是一种特殊性质,其实只有一部分问题拥有这个性质。

比如你面前放着 100 张人民币,你只能拿十张,怎么才能拿最多的面额?显然每次选择剩下钞票中面值最大的一张,最后你的选择一定是最优的。

然而,大部分问题明显不具有贪心选择性质。比如打斗地主,对手出对儿三,按照贪心策略,你应该出尽可能小的牌刚好压制住对方,但现实情况我们甚至可能会出王炸。这种情况就不能用贪心算法,而得使用动态规划解决,参见前文 动态规划解决博弈问题

一、问题概述

言归正传,本文解决一个很经典的贪心算法问题 Interval Scheduling(区间调度问题),也就是力扣第 435 题「 无重叠区间」:

给你很多形如 [start, end] 的闭区间,请你设计一个算法,算出这些区间中最多有几个互不相交的区间

int intervalSchedule(int[][] intvs);

举个例子,intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]],这些区间最多有 2 个区间互不相交,即 [[1,3], [3,6]],你的算法应该返回 2。注意边界相同并不算相交。

这个问题在生活中的应用广泛,比如你今天有好几个活动,每个活动都可以用区间 [start, end] 表示开始和结束的时间,请问你今天最多能参加几个活动呢?显然你一个人不能同时参加两个活动,所以说这个问题就是求这些时间区间的最大不相交子集。

二、贪心解法

这个问题有许多看起来不错的贪心思路,却都不能得到正确答案。比如说:

也许我们可以每次选择可选区间中开始最早的那个?但是可能存在某些区间开始很早,但是很长,使得我们错误地错过了一些短的区间。或者我们每次选择可选区间中最短的那个?或者选择出现冲突最少的那个区间?这些方案都能很容易举出反例,不是正确的方案。

正确的思路其实很简单,可以分为以下三步:

1、从区间集合 intvs 中选择一个区间 x,这个 x 是在当前所有区间中结束最早的end 最小)。

2、把所有与 x 区间相交的区间从区间集合 intvs 中删除。

3、重复步骤 1 和 2,直到 intvs 为空为止。之前选出的那些 x 就是最大不相交子集。

把这个思路实现成算法的话,可以按每个区间的 end 数值升序排序,因为这样处理之后实现步骤 1 和步骤 2 都方便很多,如下 GIF 所示:

现在来实现算法,对于步骤 1,由于我们预先按照 end 排了序,所以选择 x 是很容易的。关键在于,如何去除与 x 相交的区间,选择下一轮循环的 x 呢?

由于我们事先排了序,不难发现所有与 x 相交的区间必然会与 xend 相交;如果一个区间不想与 xend 相交,它的 start 必须要大于(或等于)xend

看下代码:

public int intervalSchedule(int[][] intvs) {
    if (intvs.length == 0) return 0;
    // 按 end 升序排序
    Arrays.sort(intvs, new Comparator<int[]>() {
        public int compare(int[] a, int[] b) {
            return a[1] - b[1];
        }
    });
    // 至少有一个区间不相交
    int count = 1;
    // 排序后,第一个区间就是 x
    int x_end = intvs[0][1];
    for (int[] interval : intvs) {
        int start = interval[0];
        if (start >= x_end) {
            // 找到下一个选择的区间了
            count++;
            x_end = interval[1];
        }
    }
    return count;
}

三、应用举例

下面再举例几道具体的题目应用一下区间调度算法。

首先是力扣第 435 题「 无重叠区间」问题:

输入一个区间的集合,请你计算,要想使其中的区间都互不重叠,至少需要移除几个区间?函数签名如下:

int eraseOverlapIntervals(int[][] intvs);

其中,可以假设输入的区间的终点总是大于起点,另外边界相等的区间只算接触,但并不算相互重叠。

比如说输入是 intvs = [[1,2],[2,3],[3,4],[1,3]],算法返回 1,因为只要移除 [1,3] 后,剩下的区间就没有重叠了。

我们已经会求最多有几个区间不会重叠了,那么剩下的不就是至少需要去除的区间吗?

int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {
    int n = intervals.length;
    return n - intervalSchedule(intervals);
}

再说说力扣第 452 题「 用最少的箭头射爆气球」,我来描述一下题目:

假设在二维平面上有很多圆形的气球,这些圆形投影到 x 轴上会形成一个个区间对吧。那么给你输入这些区间,你沿着 x 轴前进,可以垂直向上射箭,请问你至少要射几箭才能把这些气球全部射爆呢?

函数签名如下:

int findMinArrowShots(int[][] intvs);

比如说输入为 [[10,16],[2,8],[1,6],[7,12]],算法应该返回 2,因为我们可以在 x 为 6 的地方射一箭,射爆 [2,8][1,6] 两个气球,然后在 x 为 10,11 或 12 的地方射一箭,射爆 [10,16][7,12] 两个气球。

其实稍微思考一下,这个问题和区间调度算法一模一样!如果最多有 n 个不重叠的区间,那么就至少需要 n 个箭头穿透所有区间:

只是有一点不一样,在 intervalSchedule 算法中,如果两个区间的边界触碰,不算重叠;而按照这道题目的描述,箭头如果碰到气球的边界气球也会爆炸,所以说相当于区间的边界触碰也算重叠:

所以只要将之前的算法稍作修改,就是这道题目的答案:

int findMinArrowShots(int[][] intvs) {
    // ...

    for (int[] interval : intvs) {
        int start = interval[0];
        // 把 >= 改成 > 就行了
        if (start > x_end) {
            count++;
            x_end = interval[1];
        }
    }
    return count;
}

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引用本文的文章

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