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常用的位操作

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

牛客 LeetCode 力扣 难度
- 136. Single Number 136. 只出现一次的数字 🟢
- 191. Number of 1 Bits 191. 位1的个数 🟢
- 231. Power of Two 231. 2 的幂 🟢
- 268. Missing Number 268. 丢失的数字 🟢
- - 剑指 Offer 15. 二进制中1的个数 🟢

———–

本文分两部分,第一部分列举几个有趣的位操作,第二部分讲解算法题中常用的位运算操作。因为位操作很简单,所以假设读者已经了解与、或、异或这三种基本操作。

位操作(Bit Manipulation)可以玩出很多奇技淫巧,但是这些技巧大部分都过于晦涩,没必要深究,读者只要记住一些有用的操作即可。

一、几个有趣的位操作

  1. 利用或操作 | 和空格将英文字符转换为小写
('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'
  1. 利用与操作 & 和下划线将英文字符转换为大写
('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'
  1. 利用异或操作 ^ 和空格进行英文字符大小写互换
('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'

以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字,恰巧这些字符对应的数字通过位运算就能得到正确的结果,有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算,本文就不展开讲了。

  1. 判断两个数是否异号
int x = -1, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // true

int x = 3, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // false

这个技巧还是很实用的,利用的是补码编码的符号位。如果不用位运算来判断是否异号,需要使用 if else 分支,还挺麻烦的。读者可能想利用乘积或者商来判断两个数是否异号,但是这种处理方式可能造成溢出,从而出现错误。

  1. 不用临时变量交换两个数
int a = 1, b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
// 现在 a = 2, b = 1
  1. 加一
int n = 1;
n = -~n;
// 现在 n = 2
  1. 减一
int n = 2;
n = ~-n;
// 现在 n = 1

PS:上面这三个操作就纯属装逼用的,没啥实际用处,大家了解了解乐呵一下就行。

二、n & (n-1) 的运用

n & (n-1) 这个操作是算法中常见的,作用是消除数字 n 的二进制表示中的最后一个 1

看个图就很容易理解了:

其核心逻辑就是,n - 1 一定可以消除最后一个 1,同时把其后的 0 都变成 1,这样再和 n 做一次 & 运算,就可以仅仅把最后一个 1 变成 0 了。

1、计算汉明权重(Hamming Weight)

这是力扣第 191 题「 位 1 的个数」:

就是让你返回 n 的二进制表示中有几个 1。因为 n & (n - 1) 可以消除最后一个 1,所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数,直到 n 变成 0 为止。

int hammingWeight(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        n = n & (n - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

2、判断一个数是不是 2 的指数

力扣第 231 题「 2 的幂」就是这个问题。

一个数如果是 2 的指数,那么它的二进制表示一定只含有一个 1:

2^0 = 1 = 0b0001
2^1 = 2 = 0b0010
2^2 = 4 = 0b0100

如果使用 n & (n-1) 的技巧就很简单了(注意运算符优先级,括号不可以省略):

boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n <= 0) return false;
    return (n & (n - 1)) == 0;
}

三、a ^ a = 0 的运用

异或运算的性质是需要我们牢记的:

一个数和它本身做异或运算结果为 0,即 a ^ a = 0;一个数和 0 做异或运算的结果为它本身,即 a ^ 0 = a

1、查找只出现一次的元素

这是力扣第 136 题「 只出现一次的数字」:

对于这道题目,我们只要把所有数字进行异或,成对儿的数字就会变成 0,落单的数字和 0 做异或还是它本身,所以最后异或的结果就是只出现一次的元素:

int singleNumber(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums) {
        res ^= n;
    }
    return res;
}

2、寻找缺失的元素

这是力扣第 268 题「 丢失的数字」:

给一个长度为 n 的数组,其索引应该在 [0,n),但是现在你要装进去 n + 1 个元素 [0,n],那么肯定有一个元素装不下嘛,请你找出这个缺失的元素。

这道题不难的,我们应该很容易想到,把这个数组排个序,然后遍历一遍,不就很容易找到缺失的那个元素了吗?

或者说,借助数据结构的特性,用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来,再遍历 [0,n] 之间的数字,去 HashSet 中查询,也可以很容易查出那个缺失的元素。

排序解法的时间复杂度是 O(NlogN),HashSet 的解法时间复杂度是 O(N),但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。

这个问题其实还有一个特别简单的解法:等差数列求和公式。

题目的意思可以这样理解:现在有个等差数列 0, 1, 2,..., n,其中少了某一个数字,请你把它找出来。那这个数字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛?

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 虽然题目给的数据范围不大,但严谨起见,用 long 类型防止整型溢出
    // 求和公式:(首项 + 末项) * 项数 / 2
    long expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;
    long sum = 0;
    for (int x : nums) {
        sum += x;
    }
    return (int)(expect - sum);
}

不过,本文的主题是位运算,我们来讲讲如何利用位运算技巧来解决这道题。

再回顾一下异或运算的性质:一个数和它本身做异或运算结果为 0,一个数和 0 做异或运算还是它本身。

而且异或运算满足交换律和结合律,也就是说:

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素,比如说 nums = [0,3,1,4]

为了容易理解,我们假设先把索引补一位,然后让每个元素和自己相等的索引相对应:

这样做了之后,就可以发现除了缺失元素之外,所有的索引和元素都组成一对儿了,现在如果把这个落单的索引 2 找出来,也就找到了缺失的那个元素。

如何找这个落单的数字呢,只要把所有的元素和索引做异或运算,成对儿的数字都会消为 0,只有这个落单的元素会剩下,也就达到了我们的目的:

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新补的索引异或一下
    res ^= n;
    // 和其他的元素、索引做异或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

由于异或运算满足交换律和结合律,所以总是能把成对儿的数字消去,留下缺失的那个元素。

以上便是一些有趣/常用的位操作。其实位操作的技巧很多,有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的外国网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法,感兴趣的读者可以查看:

http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#ReverseParallel


引用本文的题目

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LeetCode 力扣
389. Find the Difference 389. 找不同
- 剑指 Offer 15. 二进制中1的个数

引用本文的文章

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