并查集（Union-Find）算法
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| LeetCode | 力扣 | 难度 |
|---|---|---|
| 130. Surrounded Regions | 130. 被围绕的区域 | 🟠 |
| 323. Number of Connected Components in an Undirected Graph🔒 | 323. 无向图中连通分量的数目🔒 | 🟠 |
| 990. Satisfiability of Equality Equations | 990. 等式方程的可满足性 | 🟠 |
———–
记得我之前在讲 图论算法基础 时说图论相关的算法不会经常考，但最近被打脸了，因为一些读者和我反馈近期求职面试涉及很多图论相关的算法，可能是因为环境不好所以算法这块更卷了吧。
常见的图论算法我都已经写过了，这里按难度顺序列举一下：
并查集（Union-Find）算法是一个专门针对「动态连通性」的算法，我之前写过两次，因为这个算法的考察频率高，而且它也是最小生成树算法的前置知识，所以我整合了本文，争取一篇文章把这个算法讲明白。
首先，从什么是图的动态连通性开始讲。
一、动态连通性
简单说，动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：
现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API：
class UF {
/* 将 p 和 q 连接 */
public void union(int p, int q);
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
public boolean connected(int p, int q);
/* 返回图中有多少个连通分量 */
public int count();
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
public:
/* 将 p 和 q 连接 */
void union(int p, int q);
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
bool connected(int p, int q);
/* 返回图中有多少个连通分量 */
int count();
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
"""将 p 和 q 连接"""
def union(self, p: int, q: int):
pass
"""判断 p 和 q 是否连通"""
def connected(self, p: int, q: int) -> bool:
pass
"""返回图中有多少个连通分量"""
def count(self) -> int:
pass
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 将 p 和 q 连接
func union(p int, q int)
// 判断 p 和 q 是否连通
func connected(p int, q int) bool
// 返回图中有多少个连通分量
func count() int
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function() {
/* 将 p 和 q 连接 */
this.union = function(p, q) {};
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
this.connected = function(p, q) {};
/* 返回图中有多少个连通分量 */
this.count = function() {};
};
这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：
1、自反性：节点 p 和 p 是连通的。
2、对称性：如果节点 p 和 q 连通，那么 q 和 p 也连通。
3、传递性：如果节点 p 和 q 连通，q 和 r 连通，那么 p 和 r 也连通。
比如说之前那幅图，0～9 任意两个不同的点都不连通，调用 connected 都会返回 false，连通分量为 10 个。
如果现在调用 union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。
再调用 union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用 connected(0, 2) 也会返回 true，连通分量变为 8 个。
判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。
这样，你应该大概明白什么是动态连通性了，Union-Find 算法的关键就在于 union 和 connected 函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢？用什么数据结构来实现代码呢？
二、基本思路
注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说，这么做是有原因的。因为我们使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。
怎么用森林来表示连通性呢？我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点，如果是根节点的话，这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图，一开始的时候没有相互连通，就是这样：
class UF {
// 记录连通分量
private int count;
// 节点 x 的父节点是 parent[x]
private int[] parent;
/* 构造函数，n 为图的节点总数 */
public UF(int n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
// 父节点指针初始指向自己
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
parent[i] = i;
}
/* 其他函数 */
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
// 记录连通分量
private:
int count;
// 节点 x 的父节点是 parent[x]
int* parent;
public:
/* 构造函数，n 为图的节点总数 */
UF(int n) {
// 一开始互不连通
this->count = n;
// 父节点指针初始指向自己
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
parent[i] = i;
}
/* 其他函数 */
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 记录连通分量
def __init__(self, n: int):
# 一开始互不连通
self.count = n
# 父节点指针初始指向自己
self.parent = [i for i in range(n)]
# 其他函数
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 记录连通分量
count int
// 节点 x 的父节点是 parent[x]
parent []int
}
/* 构造函数，n 为图的节点总数 */
func NewUF(n int) *UF {
// 一开始互不连通
uf := &UF{count: n, parent: make([]int, n)}
// 父节点指针初始指向自己
for i := 0; i < n; i++ {
uf.parent[i] = i
}
return uf
}
/* 其他函数 */
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function(n) {
// 记录连通分量
this.count = n;
// 节点 x 的父节点是 parent[x]
this.parent = [];
// 构造函数，n 为图的节点总数
for (var i = 0; i < n; i++) {
// 一开始互不连通
this.parent[i] = i;
}
/* 其他函数 */
}
如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
count--; // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (parent[x] != x)
x = parent[x];
return x;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() {
return count;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public:
void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
count--; // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
int find(int x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (parent[x] != x)
x = parent[x];
return x;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
int count() {
return count;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
def union(self, p: int, q: int) -> None:
rootP = self.find(p)
rootQ = self.find(q)
if rootP == rootQ:
return
# 将两棵树合并为一棵
self.parent[rootP] = rootQ
# parent[rootQ] = rootP 也一样
self.count -= 1 # 两个分量合二为一
""" 返回某个节点 x 的根节点 """
def find(self, x: int) -> int:
# 根节点的 parent[x] == x
while self.parent[x] != x:
x = self.parent[x]
return x
""" 返回当前的连通分量个数 """
def count(self) -> int:
return self.count
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
parent []int
count int
}
func (uf *UF) union(p int, q int) {
rootP := uf.find(p)
rootQ := uf.find(q)
if rootP == rootQ {
return
}
// 将两棵树合并为一棵
uf.parent[rootP] = rootQ
// parent[rootQ] = rootP 也一样
uf.count-- // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
func (uf *UF) find(x int) int {
// 根节点的 parent[x] == x
for uf.parent[x] != x {
x = uf.parent[x]
}
return x
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
func (uf *UF) count() int {
return uf.count
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = class {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
union(p, q) {
var rootP = this.find(p);
var rootQ = this.find(q);
if (rootP === rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
this.parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也一样
this.count--; // 两个分量合二为一
}
/* 返回某个节点 x 的根节点 */
find(x) {
// 根节点的 parent[x] == x
while (this.parent[x] !== x)
x = this.parent[x];
return x;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
count() {
return this.count;
}
}
这样，如果节点 p 和 q 连通的话，它们一定拥有相同的根节点：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
private:
// 省略上文给出的代码部分...
public:
bool connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
def connected(self, p: int, q: int) -> bool:
root_p = self.find(p)
root_q = self.find(q)
return root_p == root_q
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
}
func (uf *UF) connected(p int, q int) bool {
rootP := uf.find(p)
rootQ := uf.find(q)
return rootP == rootQ
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = class {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
connected(p, q) {
var rootP = find(p);
var rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
}
至此，Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇？竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林，如此巧妙的解决这个比较复杂的问题！
那么这个算法的复杂度是多少呢？我们发现，主要 API connected 和 union 中的复杂度都是 find 函数造成的，所以说它们的复杂度和 find 一样。
find 主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是 logN，但这并不一定。logN 的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成 N。
所以说上面这种解法，find , union , connected 的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于 union 和 connected 的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。
问题的关键在于，如何想办法避免树的不平衡呢？只需要略施小计即可。
三、平衡性优化
我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于 union 过程：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也可以
count--;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public:
void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
parent[rootP] = rootQ;
// parent[rootQ] = rootP 也可以
count--;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
def union(self, p: int, q: int) -> None:
rootP = self.find(p)
rootQ = self.find(q)
if rootP == rootQ:
return
# 将两棵树合并为一棵
self.parent[rootP] = rootQ
# self.parent[rootQ] = rootP 也可以
self.count -= 1
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
}
func (uf *UF) union(p int, q int) {
rootP := uf.find(p)
rootQ := uf.find(q)
if rootP == rootQ {
return
}
// 将两棵树合并为一棵
uf.parent[rootP] = rootQ
// parent[rootQ] = rootP 也可以
uf.count--
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function() {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
this.union = function(p, q) {
var rootP = this.find(p);
var rootQ = this.find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 将两棵树合并为一棵
this.parent[rootP] = rootQ;
// this.parent[rootQ] = rootP 也可以
this.count--;
}
}
我们一开始就是简单粗暴的把 p 所在的树接到 q 所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：
长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个 size 数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：
class UF {
private int count;
private int[] parent;
// 新增一个数组记录树的“重量”
private int[] size;
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
// 最初每棵树只有一个节点
// 重量应该初始化 1
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
/* 其他函数 */
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
private:
int count;
int* parent;
// 新增一个数组记录树的“重量”
int* size;
public:
UF(int n) {
this->count = n;
parent = new int[n];
// 最初每棵树只有一个节点
// 重量应该初始化 1
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
/* 其他函数 */
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
def __init__(self, n: int):
self.count = n
self.parent = [i for i in range(n)]
# 新增一个数组记录树的“重量”
self.size = [1] * n
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
count int // 当前连通分量数目
parent []int // 存储每个节点的父节点
size []int // 存储根节点对应的树的大小
}
// NewUF 构造函数，n 为图的节点总数
func NewUF(n int) *UF {
uf := &UF{
count: n,
parent: make([]int, n),
// 最初每个节点的父节点为它本身，即自己与自己连通
parent[i] = i
size: make([]int, n),
}
// 初始化时，每棵树的大小都为 1
for i := 0; i < n; i++ {
uf.size[i] = 1
}
return uf
}
// 其他方法
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function(n) {
this.count = n;
this.parent = new Array(n);
this.size = new Array(n);
for (var i = 0; i < n; i++) {
this.parent[i] = i;
this.size[i] = 1;
}
}
/* 其他函数 */
比如说 size[3] = 5 表示，以节点 3 为根的那棵树，总共有 5 个节点。这样我们可以修改一下 union 方法：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面，较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
private:
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public:
void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面，较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
def union(self, p: int, q: int) -> None:
rootP = self.find(p)
rootQ = self.find(q)
if rootP == rootQ:
return
# 小树接到大树下面，较平衡
if self.size[rootP] > self.size[rootQ]:
self.parent[rootQ] = rootP
self.size[rootP] += self.size[rootQ]
else:
self.parent[rootP] = rootQ
self.size[rootQ] += self.size[rootP]
self.count -= 1
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
}
func (uf *UF) union(p int, q int) {
rootP := uf.find(p)
rootQ := uf.find(q)
if rootP == rootQ {
return
}
// 小树接到大树下面，较平衡
if uf.size[rootP] > uf.size[rootQ] {
uf.parent[rootQ] = rootP
uf.size[rootP] += uf.size[rootQ]
} else {
uf.parent[rootP] = rootQ
uf.size[rootQ] += uf.size[rootP]
}
uf.count--
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function(n) {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
}
UF.prototype.union = function(p, q) {
var rootP = this.find(p);
var rootQ = this.find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面，较平衡
if (this.size[rootP] > this.size[rootQ]) {
this.parent[rootQ] = rootP;
this.size[rootP] += this.size[rootQ];
} else {
this.parent[rootP] = rootQ;
this.size[rootQ] += this.size[rootP];
}
this.count--;
}
这样，通过比较树的重量，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在 logN 这个数量级，极大提升执行效率。
此时，find , union , connected 的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。
四、路径压缩
这步优化虽然代码很简单，但原理非常巧妙。
其实我们并不在乎每棵树的结构长什么样，只在乎根节点。
因为无论树长啥样，树上的每个节点的根节点都是相同的，所以能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？
这样每个节点的父节点就是整棵树的根节点，find 就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，connected 和 union 复杂度都下降为 O(1)。
要做到这一点主要是修改 find 函数逻辑，非常简单，但你可能会看到两种不同的写法。
第一种是在 find 中加一行代码：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
private int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 这行代码进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
private:
int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 这行代码进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
def find(self, x: int) -> int:
while self.parent[x] != x:
# 这行代码进行路径压缩
self.parent[x] = self.parent[self.parent[x]]
x = self.parent[x]
return x
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 省略上文给出的代码部分...
}
func (this *UF) find(x int) int {
for this.parent[x] != x {
// 这行代码进行路径压缩
this.parent[x] = this.parent[this.parent[x]]
x = this.parent[x]
}
return x
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function() {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
var find = function(x) {
while (parent[x] !== x) {
// 这行代码进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
}
这个操作有点匪夷所思，看个 GIF 就明白它的作用了（为清晰起见，这棵树比较极端）：
用语言描述就是，每次 while 循环都会让部分子节点向上移动，这样每次调用 find 函数向树根遍历的同时，顺手就将树高缩短了。
路径压缩的第二种写法是这样：
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
// 第二种路径压缩的 find 方法
public int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
// 第二种路径压缩的 find 方法
public:
int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 省略上文的代码部分
# 第二种路径压缩的 find 方法
def find(self, x: int) -> int:
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 省略上文给出的代码部分...
}
// 第二种路径压缩的 find 方法
func (uf *UF) find(x int) int {
if uf.parent[x] != x {
uf.parent[x] = uf.find(uf.parent[x])
}
return uf.parent[x]
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var UF = function() {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
// 第二种路径压缩的 find 方法
this.find = function(x) {
if (this.parent[x] != x) {
this.parent[x] = this.find(this.parent[x]);
}
return this.parent[x];
}
}
我一度认为这种递归写法和第一种迭代写法做的事情一样，但实际上是我大意了，有读者指出这种写法进行路径压缩的效率是高于上一种解法的。
这个递归过程有点不好理解，你可以自己手画一下递归过程。我把这个函数做的事情翻译成迭代形式，方便你理解它进行路径压缩的原理：
// 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
public int find(int x) {
// 先找到根节点
int root = x;
while (parent[root] != root) {
root = parent[root];
}
// 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
int old_parent = parent[x];
while (x != root) {
parent[x] = root;
x = old_parent;
old_parent = parent[old_parent];
}
return root;
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
// 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
int find(int x) {
// 先找到根节点
int root = x;
while (parent[root] != root) {
root = parent[root];
}
// 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
int old_parent = parent[x];
while (x != root) {
parent[x] = root;
x = old_parent;
old_parent = parent[old_parent];
}
return root;
}
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
# 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
def find(x: int) -> int:
# 先找到根节点
root = x
while parent[root] != root:
root = parent[root]
# 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
old_parent = parent[x]
while x != root:
parent[x] = root
x = old_parent
old_parent = parent[old_parent]
return root
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
// 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
func find(x int) int {
// 先找到根节点
root := x
for parent[root] != root {
root = parent[root]
}
// 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
old_parent := parent[x]
for x != root {
parent[x] = root
x = old_parent
old_parent = parent[old_parent]
}
return root
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
// 这段迭代代码方便你理解递归代码所做的事情
var find = function(x) {
// 先找到根节点
var root = x;
while (parent[root] !== root) {
root = parent[root];
}
// 然后把 x 到根节点之间的所有节点直接接到根节点下面
var old_parent = parent[x];
while (x !== root) {
parent[x] = root;
x = old_parent;
old_parent = parent[old_parent];
}
return root;
};
这种路径压缩的效果如下：
比起第一种路径压缩，显然这种方法压缩得更彻底，直接把一整条树枝压平，一点意外都没有。就算一些极端情况下产生了一棵比较高的树，只要一次路径压缩就能大幅降低树高，从 摊还分析 的角度来看，所有操作的平均时间复杂度依然是 O(1)，所以从效率的角度来说，推荐你使用这种路径压缩算法。
另外，如果使用路径压缩技巧，那么 size 数组的平衡优化就不是特别必要了。所以你一般看到的 Union Find 算法应该是如下实现：
class UF {
// 连通分量个数
private int count;
// 存储每个节点的父节点
private int[] parent;
// n 为图中节点的个数
public UF(int n) {
this.count = n;
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
}
}
// 将节点 p 和节点 q 连通
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
parent[rootQ] = rootP;
// 两个连通分量合并成一个连通分量
count--;
}
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
public int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
// 返回图中的连通分量个数
public int count() {
return count;
}
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF {
private:
// 连通分量个数
int count;
// 存储每个节点的父节点
int *parent;
public:
// n 为图中节点的个数
UF(int n) {
this->count = n;
parent = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
}
}
// 将节点 p 和节点 q 连通
void union_(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
parent[rootQ] = rootP;
// 两个连通分量合并成一个连通分量
count--;
}
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通
bool connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
// 返回图中的连通分量个数
int count_() {
return count;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
class UF:
# 连通分量个数
count: int
# 存储每个节点的父节点
parent: List[int]
# n 为图中节点的个数
def __init__(self, n: int):
self.count = n
self.parent = [i for i in range(n)]
# 将节点 p 和节点 q 连通
def union(self, p: int, q: int):
rootP = self.find(p)
rootQ = self.find(q)
if rootP == rootQ:
return
self.parent[rootQ] = rootP
# 两个连通分量合并成一个连通分量
self.count -= 1
# 判断节点 p 和节点 q 是否连通
def connected(self, p: int, q: int) -> bool:
rootP = self.find(p)
rootQ = self.find(q)
return rootP == rootQ
def find(self, x: int) -> int:
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
# 返回图中的连通分量个数
def count(self) -> int:
return self.count
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
type UF struct {
// 连通分量个数
count int
// 存储每个节点的父节点
parent []int
}
// n 为图中节点的个数
func NewUF(n int) *UF {
parent := make([]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
parent[i] = i
}
return &UF{
count: n,
parent: parent,
}
}
// 将节点 p 和节点 q 连通
func (u *UF) Union(p, q int) {
rootP := u.Find(p)
rootQ := u.Find(q)
if rootP == rootQ {
return
}
u.parent[rootQ] = rootP
// 两个连通分量合并成一个连通分量
u.count--
}
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通
func (u *UF) Connected(p, q int) bool {
rootP := u.Find(p)
rootQ := u.Find(q)
return rootP == rootQ
}
func (u *UF) Find(x int) int {
if u.parent[x] != x {
u.parent[x] = u.Find(u.parent[x])
}
return u.parent[x]
}
// 返回图中的连通分量个数
func (u *UF) Count() int {
return u.count
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
// 定义 UF 类
var UF = function(n) {
// 连通分量个数
this.count = n;
// 存储每个节点的父节点
this.parent = [];
// n 为图中节点的个数
for (var i = 0; i < n; i++) {
this.parent[i] = i;
}
}
// 将节点 p 和节点 q 连通
UF.prototype.union = function(p, q) {
var rootP = this.find(p);
var rootQ = this.find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
this.parent[rootQ] = rootP;
// 两个连通分量合并成一个连通分量
this.count--;
}
// 判断节点 p 和节点 q 是否连通
UF.prototype.connected = function(p, q) {
var rootP = this.find(p);
var rootQ = this.find(q);
return rootP == rootQ;
}
// 找到节点 x 所在的连通分量
UF.prototype.find = function(x) {
if (this.parent[x] != x) {
this.parent[x] = this.find(this.parent[x]);
}
return this.parent[x];
}
// 返回图中的连通分量个数
UF.prototype.count = function() {
return this.count;
}
Union-Find 算法的复杂度可以这样分析：构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度；连通两个节点 union、判断两个节点的连通性 connected、计算连通分量 count 所需的时间复杂度均为 O(1)。
到这里，相信你已经掌握了 Union-Find 算法的核心逻辑，总结一下我们优化算法的过程：
1、用 parent 数组记录每个节点的父节点，相当于指向父节点的指针，所以 parent 数组内实际存储着一个森林（若干棵多叉树）。
2、用 size 数组记录着每棵树的重量，目的是让 union 后树依然拥有平衡性，保证各个 API 时间复杂度为 O(logN)，而不会退化成链表影响操作效率。
3、在 find 函数中进行路径压缩，保证任意树的高度保持在常数，使得各个 API 时间复杂度为 O(1)。使用了路径压缩之后，可以不使用 size 数组的平衡优化。
下面我们看一些具体的并查集题目。
题目实践
力扣第 323 题「 无向图中连通分量的数目」就是最基本的连通分量题目：
给你输入一个包含 n 个节点的图，用一个整数 n 和一个数组 edges 表示，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示图中节点 ai 和 bi 之间有一条边。请你计算这幅图的连通分量个数。
函数签名如下：
int countComponents(int n, int[][] edges)
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
int countComponents(int n, vector<vector<int>>& edges)
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
def countComponents(n: int, edges: List[List[int]]) -> int:
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
func countComponents(n int, edges [][]int) int {}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var countComponents = function(n, edges) {
};
这道题我们可以直接套用 UF 类来解决：
public int countComponents(int n, int[][] edges) {
UF uf = new UF(n);
// 将每个节点进行连通
for (int[] e : edges) {
uf.union(e[0], e[1]);
}
// 返回连通分量的个数
return uf.count();
}
class UF {
// 见上文
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
int countComponents(int n, vector<vector<int>>& edges) {
UF uf(n);
// 将每个节点进行连通
for (const auto& e : edges) {
uf.Union(e[0], e[1]);
}
// 返回连通分量的个数
return uf.Count();
}
class UF {
// 见上文
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
def countComponents(n: int, edges: List[List[int]]) -> int:
class UF:
def __init__(self, n):
self.count = n
self.parent = [i for i in range(n)]
self.rank = [0] * n
def find(self, p: int) -> int:
# 路径压缩
while p != self.parent[p]:
self.parent[p] = self.parent[self.parent[p]]
p = self.parent[p]
return p
def union(self, p: int, q: int) -> None:
# 按秩合并
rootP, rootQ = self.find(p), self.find(q)
if rootP == rootQ:
return
if self.rank[rootP] < self.rank[rootQ]:
self.parent[rootP] = rootQ
elif self.rank[rootP] > self.rank[rootQ]:
self.parent[rootQ] = rootP
else:
self.parent[rootQ] = rootP
self.rank[rootP] += 1
self.count -= 1
# 建立 n 个多个点组成的连通分量
uf = UF(n)
for e in edges:
# 将每对节点进行连通
uf.union(e[0], e[1])
# 返回连通分量的个数
return uf.count
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
func countComponents(n int, edges [][]int) int {
uf := NewUF(n)
// 将每个节点进行连通
for _, e := range edges {
uf.Union(e[0], e[1])
}
// 返回连通分量的个数
return uf.count()
}
type UF struct {
// 见上文
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var countComponents = function(n, edges) {
/**
* @param {number} n
* @return {void}
*/
class UF {
constructor(n) {
// 初始化，parent 数组指向自身
this.parent = new Array(n).fill(0).map((_, i) => i);
// rank 数组初始化为 0
this.rank = new Array(n).fill(0);
// 集合数量
this.count = n;
}
/**
* 查找根节点
* @param {number} p
* @return {number}
*/
find(p) {
let root = p;
// 循环查找根节点
while (root !== this.parent[root]) {
root = this.parent[root];
}
// 压缩路径，把当前节点指向根节点，优化树高
while (p !== root) {
let next = this.parent[p];
this.parent[p] = root;
p = next;
}
return root;
}
/**
* 合并两个集合
* @param {number} p
* @param {number} q
* @return {void}
*/
union(p, q) {
let rootP = this.find(p);
let rootQ = this.find(q);
// 如果两个节点已经在同一个连通分量内，不用合并
if (rootP === rootQ) {
return;
}
// 根据树高，优化合并性能，避免树变的很高
if (this.rank[rootP] > this.rank[rootQ]) {
this.parent[rootQ] = rootP;
} else if (this.rank[rootP] < this.rank[rootQ]) {
this.parent[rootP] = rootQ;
} else {
this.parent[rootQ] = rootP;
this.rank[rootP]++;
}
this.count--;
}
/**
* 获取集合个数
* @return {number}
*/
getCount() {
return this.count;
}
}
let uf = new UF(n);
// 构建连通分量
for (let e of edges) {
uf.union(e[0], e[1])
}
// 返回集合数量
return uf.getCount();
};
另外，一些使用 DFS 深度优先算法解决的问题，也可以用 Union-Find 算法解决。
比如力扣第 130 题「 被围绕的区域」：
给你一个 M×N 的二维矩阵，其中包含字符 X 和 O，让你找到矩阵中四面被 X 围住的 O，并且把它们替换成 X。
void solve(char[][] board);
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
void solve(vector<vector<char>>& board);
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
def solve(board: List[List[str]]) -> None:
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
func solve(board [][]byte) {}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
function solve(board) {
// function body here
}
注意哦，必须是四面被围的 O 才能被换成 X，也就是说边角上的 O 一定不会被围，进一步，与边角上的 O 相连的 O 也不会被 X 围四面，也不会被替换。
这让我想起小时候玩的棋类游戏「黑白棋」，只要你用两个棋子把对方的棋子夹在中间，对方的子就被替换成你的子。可见，占据四角的棋子是无敌的，与其相连的边棋子也是无敌的（无法被夹掉）。
先用 for 循环遍历棋盘的四边，用 DFS 算法把那些与边界相连的 O 换成一个特殊字符，比如 #；然后再遍历整个棋盘，把剩下的 O 换成 X，把 # 恢复成 O。这样就能完成题目的要求，时间复杂度 O(MN)。
但这个问题也可以用 Union-Find 算法解决，虽然实现复杂一些，甚至效率也略低，但这是使用 Union-Find 算法的通用思想，值得一学。
你可以把那些不需要被替换的 O 看成一个拥有独门绝技的门派，它们有一个共同「祖师爷」叫 dummy，这些 O 和 dummy 互相连通，而那些需要被替换的 O 与 dummy 不连通。
这就是 Union-Find 的核心思路，明白这个图，就很容易看懂代码了。
首先要解决的是，根据我们的实现，Union-Find 底层用的是一维数组，构造函数需要传入这个数组的大小，而题目给的是一个二维棋盘。
这个很简单，二维坐标 (x,y) 可以转换成 x * n + y 这个数（m 是棋盘的行数，n 是棋盘的列数），敲黑板，这是将二维坐标映射到一维的常用技巧。
其次，我们之前描述的「祖师爷」是虚构的，需要给他老人家留个位置。索引 [0.. m*n-1] 都是棋盘内坐标的一维映射，那就让这个虚拟的 dummy 节点占据索引 m * n 好了。
看解法代码：
void solve(char[][] board) {
if (board.length == 0) return;
int m = board.length;
int n = board[0].length;
// 给 dummy 留一个额外位置
UF uf = new UF(m * n + 1);
int dummy = m * n;
// 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (board[i][0] == 'O')
uf.union(i * n, dummy);
if (board[i][n - 1] == 'O')
uf.union(i * n + n - 1, dummy);
}
// 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
for (int j = 0; j < n; j++) {/**<extend up -150><img src="/algo/images/unionfind应用/3.jpg"> */
if (board[0][j] == 'O')
uf.union(j, dummy);
if (board[m - 1][j] == 'O')
uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
}
// 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
int[][] d = new int[][]{{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (board[i][j] == 'O')
// 将此 O 与上下左右的 O 连通
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + d[k][0];
int y = j + d[k][1];
if (board[x][y] == 'O')
uf.union(x * n + y, i * n + j);
}
// 所有不和 dummy 连通的 O，都要被替换
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
board[i][j] = 'X';
}
class UF {
// 见上文
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
void solve(vector<vector<char>>& board) {
if(board.empty()) return;
int m = board.size();
int n = board[0].size();
//给dummy留一个额外位置
UF uf(m*n+1);//引用UF类
int dummy = m*n;
//将首列和末列的O与dummy相连
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (board[i][0] == 'O') {
uf._union(i * n, dummy);
}
if (board[i][n - 1] == 'O') {
uf._union(i * n + n - 1, dummy);
}
}
//将首行和末行的O与dummy相连
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (board[0][j] == 'O') {
uf._union(j, dummy);
}
if (board[m - 1][j] == 'O') {
uf._union(n * (m - 1) + j, dummy);
}
}
//方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
int d[4][2] = {{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};
for (int i = 1; i < m - 1; i++) {
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
if (board[i][j] == 'O') {
//将此 O 与上下左右的 O 相连
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + d[k][0];
int y = j + d[k][1];
if (board[x][y] == 'O') {
uf._union(x * n + y, i * n + j);
}
}
}
}
}
//所有不和dummy相连的O，都要被替换
for (int i = 1; i < m - 1; i++) {
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
if(!uf.isConnected(dummy, i*n+j)) {
board[i][j] = 'X';
}
}
}
}
class UF {
vector<int> parent;
public:
UF(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent.push_back(i);
}
}
int find(int x) {
if(x!=parent[x]) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
void _union(int x, int y) {
int rootX = find(x);
int rootY = find(y);
if(rootX!=rootY) {
parent[rootX] = rootY;
}
}
bool isConnected(int x, int y) {
int rootX = find(x);
int rootY = find(y);
return rootX==rootY;
}
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
def solve(board: List[List[str]]) -> None:
if not board:
return
m = len(board)
n = len(board[0])
# 给 dummy 留一个额外位置
uf = UF(m * n + 1)
dummy = m * n
# 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
for i in range(m):
if board[i][0] == 'O':
uf.union(i * n, dummy)
if board[i][n - 1] == 'O':
uf.union(i * n + n - 1, dummy)
# 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
for j in range(n):
if board[0][j] == 'O':
uf.union(j, dummy)
if board[m - 1][j] == 'O':
uf.union(n * (m - 1) + j, dummy)
# 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
d = [[1, 0], [0, 1], [0, -1], [-1, 0]]
for i in range(1, m - 1):
for j in range(1, n - 1):
if board[i][j] == 'O':
# 将此 O 与上下左右的 O 连通
for k in range(4):
x = i + d[k][0]
y = j + d[k][1]
if board[x][y] == 'O':
uf.union(x * n + y, i * n + j)
# 所有不和 dummy 连通的 O，都要被替换
for i in range(1, m - 1):
for j in range(1, n - 1):
if not uf.connected(dummy, i * n + j):
board[i][j] = 'X'
class UF:
# 见上文
pass
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
func solve(board [][]byte) {
if len(board) == 0 {
return
}
m := len(board)
n := len(board[0])
// 给 dummy 留一个额外位置
uf := NewUF(m*n + 1)
dummy := m*n
// 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
for i := 0; i < m; i++ {
if board[i][0] == 'O' {
uf.Union(i*n, dummy)
}
if board[i][n-1] == 'O' {
uf.Union(i*n+n-1, dummy)
}
}
// 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
for j := 0; j < n; j++ {
if board[0][j] == 'O' {
uf.Union(j, dummy)
}
if board[m-1][j] == 'O' {
uf.Union(n*(m-1)+j, dummy)
}
}
// 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
d := [][]int{{1, 0}, {0, 1}, {0, -1}, {-1, 0}}
for i := 1; i < m-1; i++ {
for j := 1; j < n-1; j++ {
if board[i][j] == 'O' {
// 将此 O 与上下左右的 O 连通
for k := 0; k < 4; k++ {
x := i + d[k][0]
y := j + d[k][1]
if board[x][y] == 'O' {
uf.Union(x*n+y, i*n+j)
}
}
}
}
}
// 所有不和 dummy 连通的 O，都要被替换
for i := 1; i < m-1; i++ {
for j := 1; j < n-1; j++ {
if !uf.Connected(dummy, i*n+j) {
board[i][j] = 'X'
}
}
}
}
type UF struct {
// 见上文
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var solve = function(board) {
if (board.length === 0) return;
var m = board.length;
var n = board[0].length;
var uf = new UF(m * n + 1);
var dummy = m * n;
for (var i = 0; i < m; i++) {
if (board[i][0] === 'O')
uf.union(i * n, dummy);
if (board[i][n - 1] === 'O')
uf.union(i * n + n - 1, dummy);
}
for (var j = 0; j < n; j++) {
if (board[0][j] === 'O')
uf.union(j, dummy);
if (board[m - 1][j] === 'O')
uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
}
var d = [[1,0], [0,1], [0,-1], [-1,0]];
for (var i = 1; i < m - 1; i++)
for (var j = 1; j < n - 1; j++)
if (board[i][j] === 'O')
for (var k = 0; k < 4; k++) {
var x = i + d[k][0];
var y = j + d[k][1];
if (board[x][y] === 'O')
uf.union(x * n + y, i * n + j);
}
for (var i = 1; i < m - 1; i++)
for (var j = 1; j < n - 1; j++)
if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
board[i][j] = 'X';
};
var UF = function() {
// 见上文
};
这段代码很长，其实就是刚才的思路实现，只有和边界 O 相连的 O 才具有和 dummy 的连通性，他们不会被替换。
其实用 Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀，它可以解决更复杂，更具有技巧性的问题，主要思路是适时增加虚拟节点，想办法让元素「分门别类」，建立动态连通关系。
力扣第 990 题「 等式方程的可满足性」用 Union-Find 算法就显得十分优美了，题目是这样：
给你一个数组 equations，装着若干字符串表示的算式。每个算式 equations[i] 长度都是 4，而且只有这两种情况：a==b 或者 a!=b，其中 a,b 可以是任意小写字母。你写一个算法，如果 equations 中所有算式都不会互相冲突，返回 true，否则返回 false。
比如说，输入 ["a==b","b!=c","c==a"]，算法返回 false，因为这三个算式不可能同时正确。
再比如，输入 ["c==c","b==d","x!=z"]，算法返回 true，因为这三个算式并不会造成逻辑冲突。
我们前文说过，动态连通性其实就是一种等价关系，具有「自反性」「传递性」和「对称性」，其实 == 关系也是一种等价关系，具有这些性质。所以这个问题用 Union-Find 算法就很自然。
核心思想是，将 equations 中的算式根据 == 和 != 分成两部分，先处理 == 算式，使得他们通过相等关系各自勾结成门派（连通分量）；然后处理 != 算式，检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性。
boolean equationsPossible(String[] equations) {
// 26 个英文字母
UF uf = new UF(26);
// 先让相等的字母形成连通分量
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '=') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
uf.union(x - 'a', y - 'a');
}
}
// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '!') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
// 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))
return false;
}
}
return true;
}
class UF {
// 见上文
}
// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
UF uf(26);
for (const string& eq : equations) {
if (eq[1] == '=') {
char x = eq[0];
char y = eq[3];
uf._union(x - 'a', y - 'a');
}
}
for (const string& eq : equations) {
if (eq[1] == '!') {
char x = eq[0];
char y = eq[3];
if (uf.connected(x - 'a', y - 'a')) {
return false;
}
}
}
return true;
}
class UF {
// 见上文
};
# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
def equationsPossible(equations: List[str]) -> bool:
class UF:
def __init__(self, n: int):
self.parent = list(range(n))
self.size = [1] * n
def find(self, x: int) -> int:
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
def union(self, x: int, y: int) -> None:
root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
if root_x == root_y:
return
if self.size[root_x] < self.size[root_y]:
root_x, root_y = root_y, root_x
self.parent[root_y] = root_x
self.size[root_x] += self.size[root_y]
def connected(self, x: int, y: int) -> bool:
return self.find(x) == self.find(y)
uf = UF(26) # 26 个英文字母
# 先让相等的字母形成连通分量
for eq in equations:
if eq[1] == '=':
x, y = eq[0], eq[3]
uf.union(ord(x) - ord('a'), ord(y) - ord('a'))
# 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for eq in equations:
if eq[1] == '!':
x, y = eq[0], eq[3]
# 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
if uf.connected(ord(x) - ord('a'), ord(y) - ord('a')):
return False
return True
// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
func equationsPossible(equations []string) bool {
// 26 个英文字母
uf := Constructor(26)
// 先让相等的字母形成连通分量
for _, eq := range equations {
if eq[1] == '=' {
x := eq[0]
y := eq[3]
uf.Union(int(x-'a'), int(y-'a'))
}
}
// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for _, eq := range equations {
if eq[1] == '!' {
x := eq[0]
y := eq[3]
// 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
if uf.Find(int(x-'a')) == uf.Find(int(y-'a')) {
return false
}
}
}
return true
}
type UF struct {
// 见上文
}
// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码还未经过力扣测试，仅供参考，如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。
var equationsPossible = function(equations) {
class UF {
// 见上文
}
// 26 个英文字母
let uf = new UF(26);
// 先让相等的字母形成连通分量
for (let eq of equations) {
if (eq.charAt(1) == '=') {
let x = eq.charAt(0);
let y = eq.charAt(3);
uf.union(x - 'a', y - 'a');
}
}
// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for (let eq of equations) {
if (eq.charAt(1) == '!') {
let x = eq.charAt(0);
let y = eq.charAt(3);
// 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
if (uf.connected(x - 'a', y - 'a')) {
return false;
}
}
}
return true;
};
至此，这道判断算式合法性的问题就解决了，借助 Union-Find 算法，是不是很简单呢？
最后，Union-Find 算法也会在一些其他经典图论算法中用到，比如判断「图」和「树」，以及最小生成树的计算，详情见 Kruskal 最小生成树算法。
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